Distribuições (binomial, Poisson, Normal)
Teorema do Limite Central
Links para simulações:
Sugestões:
a) No site Uvic (ou no site Rice), em “Population Distribution”, escolha uma distribuição inicial (por exemplo, distribuição uniforme), clique em “Show” para ver a distribuição.
b) Em “Sample Distribution”, escolha o tamanho da amostra (por exemplo, “Sample size = 100”), e varie o número de amostras (“# of samples”): 5, 10, 50, 100, e 500. Clique em “Get samples”.
c) Fixando o número de amostras (“# of samples”) em 100, varie o tamanho da amostra (“sample size”): 10, 30, 50, e 100. Repita o procedimento anterior, obtendo as amostras em “Get samples”.
O que esse programa faz é, a partir de uma distribuição inicial, obter várias amostras (“# of samples”) de um certo tamanho (“sample size”, n) e calcular os valores médios. Note que, quando o número de amostras é considerável, a distribuição das médias se aproxima de uma distribuição Normal, mesmo que a distribuição original dos dados não seja Normal. Observe também se o desvio padrão da média (sm) se aproxima da relação
onde s é o desvio padrão. O valor de s que deve ser observado, neste caso, é o da distribuição inicial (por exemplo, a distribuição uniforme), que aparece no histograma de “Population distribution”.
Exercício 1 – Distribuição binomial
1. (Distribuição binomial) Considere um conjunto de n=4 bezerros prestes a nascer. Supondo que a probabilidade de nascer um bezerro macho seja p=1/2, calcule a probabilidade de se ter 0, 1, 2, 3, ou 4 bezerros machos. Faça um gráfico de barras no Minitab ou no Excel.
Dicas:
i) No Excel, clique na tecla fx e utilize a função DISTRBINOM. Leia o que é pedido em cada campo, e complete com os valores de n, p e x=0,1,2,3,4. Preencha o campo "Cumulativo" com FALSO, indicado que o que se quer calcular é o valor da função de probabilidade.
ii) No Minitab, clique em "Calc" na barra de opções. Procure em
"Probability Distributions" --> Binomial
Escolha "Probability", indique "number of trials" (n) e "Probability of success" (p). Em "Input constant", indique o valor de x desejado (0,1,2,3,4).
iii) Para fazer o gráfico no Minitab 14, em "Graph" escolha "Bar Chart" e siga os passos:
- Em "Bars represent" -> "Values from a table";
- Em "One column of values" -> "Simple";
- Na nova janela (vide abaixo), indique "Graph variables" (p.ex., 'P(X)') e "Categorical variable" (p.ex., X).
Exercício 2 – Distribuição de Poisson
Utilize o roteiro do arquivo Poisson2004.xls.
Exercício 3 – Distribuição Normal
Vamos supor que a taxa normal de glicose no sangue humano seja uma variável aleatória com distribuição normal de média x = 100 mg/dl de sangue e desvio padrão s = 6 mg/dl de sangue. Calcule a probabilidade de um indivíduo com taxa normal de glicose, apresentar:
a) taxa superior a 110mg/dl de sangue;
b) taxa inferior a 90 mg/dl de sangue;
c) taxa entre 90 e 110 mg/dl de sangue.
Utilize a função DIST.NORM para calcular o valor da distribuição normal. Em "Cumulativo", indique VERDADEIRO, porque queremos calcular a área sob a curva normal. Saiba que essa função calcula a área sob a curva desde infinito negativo até o valor de x indicado (ou seja, para valores inferiores ao valor x). Lembre-se que a área total sob a curva é igual a 1,0 .
No Minitab
Utilize Calc -> Probability Distributions -> Normal. Indique “Cumulative probability”.
Como no Excel, o resultado é a área sob a curva Normal para valores inferiores ao valor especificado da variável.
Exercício 4
Supondo que o peso médio de ovos de uma certa linhagem de galinhas seja uma variável de distribuição aproximadamente Normal com média de 59 gramas e desvio padrão de 1 grama. Calcule a probabilidade de encontrar, em determinado lote de produção, ovos com peso:
a) inferior a 58 gramas;
b) superior a 61 gramas;
c) entre 58 e 60 gramas.
Exercício 5 (opcional)
Vamos supor que uma galinha da linhagem Shaver 579 produza, em um período de 72 semanas, 300 ovos em média, com desvio padrão de 5 ovos, e que esta variável (produção de ovos) apresente distribuição aproximadamente Normal. Calcule a probabilidade de uma galinha dessa linhagem produzir, em 72 semanas, um número:
a) inferior a 290 ovos;
b) superior a 310 ovos;
c) entre 290 e 310 ovos.